Principio de Arquímedes: biografía, teoría, ejemplos, curiosidades, y más

La parte líquida es reemplazada por un cuerpo sólido de la misma forma y dimensiones.

Si cambiamos la porción líquida con un cuerpo sólido de la misma forma y dimensiones, entonces las fuerzas debidas a la presión no cambian, por lo tanto, su consecuencia es que hemos llamado a la fuerza motriz igual y operan en el mismo punto, llamado centro de tracción.

Lo que cambia es el peso del cuerpo sólido y su punto de aplicación, que es el centro de la masa, que puede coincidir o no con el centro de tracción. Por lo tanto, aparecen dos fuerzas en el cuerpo: la presión del cuerpo y el peso corporal, que en principio no tienen el mismo valor o se aplican en el mismo punto.

En los casos más simples, asumiremos que el material sólido y el fluido son homogéneos y, por lo tanto, el centro del centro del centro coincide con el centro de presión.

Ejemplos

Ejemplo 1
Supongamos un cuerpo sumergido de densidad ρ rodeado por un fluido de densidad ρf. El área de la base del cuerpo es A y su altura h.

La presión debida al fluido sobre la base superior es p1=ρfgx, y la presión debida al fluido en la base inferior es p2=ρfg(x+h). La presión sobre la superficie lateral es variable y depende de la altura, está comprendida entre p1 y p2.

Las fuerzas debidas a la presión del fluido sobre la superficie lateral se anulan. Las otras fuerzas sobre el cuerpo son las siguientes:

• Peso del cuerpo, mg
• Fuerza debida a la presión sobre la base superior, p1·A
• Fuerza debida a la presión sobre la base inferior, p2·A

En el equilibrio tendremos que

mg+p1·A= p2·A
mg+ρfgx·A= ρfg(x+h)·A

o bien

mg=ρfh·Ag

Como la presión en la cara inferior del cuerpo p2 es mayor que la presión en la cara superior p1, la diferencia es ρfgh. El resultado es una fuerza hacia arriba ρfgh·A sobre el cuerpo debida al fluido que le rodea.

Como vemos, la fuerza de empuje tiene su origen en la diferencia de presión entre la parte superior y la parte inferior del cuerpo sumergido en el fluido.

Con esta explicación surge un problema bastante curioso e interesante, que podemos aprovechar el momento para debatido. Comencemos, primero que nada vamos a suponer que un cuerpo de base plana (cilíndrico o en forma de paralepípedo) cuya densidad es mayor que la del fluido, descansa en el fondo del recipiente.

Si no hay fluido entre el cuerpo y el fondo del recipiente ¿desaparece la fuerza de empuje?, tal como se muestra en la figura que a continuación se muestra:

Si un contenedor se llena de agua y un cuerpo se coloca en el suelo o al final del recipiente, el cuerpo estaría en reposo con su propio mg de peso y fuerza P1a ejercida por la columna de fluido que se encuentra por encima del cuerpo, incluso si la densidad del cuerpo menor que la del líquido. La experiencia demuestra que el cuerpo fluye y llega a la superficie.

El principio de Arquímedes sigue siendo aplicable en cualquier caso y se afirma en muchos textos de física de la siguiente manera:

Cuando un cuerpo se sumerge parcial o completamente en el fluido que lo rodea, actúa como una fuerza de compresión en el cuerpo. Esta fuerza tiene una dirección hacia arriba y su magnitud es igual al peso del líquido que ha sido dispersado por el cuerpo.

Ejemplo 2

Consideremos una cuerpo de forma esférica de radio R, completamente sumergido en un líquido de densidad ρf. El centro de la esfera está a una profundidad h>R.

• La presión que ejerce el líquido a una profundidad h-Rcosθ es p=ρf·g(h-Rcosθ), la fuerza que ejerce esta presión sobre el área dA señalada en color rojo es dF=p(2πRsinθ·R·dθ) y su dirección es radial y hacia el centro de la esfera

Su componente a lo largo del eje vertical Z es dF·cosθ

• La presión que ejerce el líquido a una profundidad h+Rcosθ es p=ρf·g(h+Rcosθ), la fuerza que ejerce esta presión sobre el área dA es dF=p(2πRsinθ·R·dθ) y su dirección es radial y hacia el centro de la esfera

Su componente a lo largo del eje vertical Z es dF·cosθ

Por simetría las componentes horizontales se anulan

La fuerza total que ejerce la presión del fluido sobre la superficie de la esfera es hacia arriba e igual a la diferencia

Verificamos de nuevo, el principio de Arquímedes, el empuje es igual al producto de la densidad del fluido, la gravedad y el volumen del cuerpo sumergido

Flotación entre dos líquidos no miscibles

Un cuerpo sólido se inmersa en dos líquidos inmiscibles: agua y aceite. Determinaremos la densidad de dicho cuerpo por dos métodos diferentes:

• El principio de Arquímedes

La ecuación fundamental de la estática de los fluidos, nos indica que el aceite con una densidad de 0,8 g / cm3 se encuentra en la parte superior y el agua más densa de 1,0 g / cm3 se encuentra en la parte inferior del recipiente. La densidad del bloque es un número entre la densidad del aceite 0,8 y la del agua 1,0. Un cuerpo de esa densidad fluctúa entre los dos líquidos.

Principio de Arquímedes
Sabiendo que parte del sólido se inmersa en aceite (fluido 1) o en agua (fluido 2), la densidad de dicho cuerpo será determinada.

El principio de Arquímedes nos dice que si el bloque está en equilibrio, el peso del bloque debe ser igual al empuje proporcionado por ambos líquidos.

Peso del bloque =empuje del agua + empuje del aceite

S es el área de la base del bloque, h su altura, y x es la parte del bloque sumergida en agua.

En general, un cuerpo que flota en la superficie del agua, está sumergido en dos fluidos, uno es el agua ρ2=1000 kg/m3 y el otro es el aire ρ1=1.29 kg/m3. Habitualmente, se desprecia la densidad del aire frente a la del sólido ρ y la del fluido ρ2, aplicándose la fórmula aproximada.

Ejemplo

Supongamos un bloque de h=20 cm de altura, observamos que el bloque está sumergido 13 cm en aceite y 7 cm en agua.

ρ·20=0.8·13+1.0·7

Despejando en la fórmula la densidad del sólido, obtenemos el valor de 0.87 g/cm3.

Ecuación fundamental de la estática de fluidos
Sean p1 y p2 las presiones sobre la cara superior e inferior del bloque sumergido.

La cara superior está en el aceite a una profundidad y. La presión p1 será igual a la atmosférica p0 más la correspondiente a la altura y de aceite.

p1=p0+ρ1gy

La cara inferior está en el agua. La presión p2 será igual a la presión atmosférica p0 más la correspondiente a la altura de aceite (y+h-x) más la correspondiente a la altura de la columna de agua (x)

p2=p0+ρ1g(y+h-x)+ρ2gx

La fuerza que ejerce el fluido sobre dichas caras será el producto de la presión por el área de su superficie S.

Como vemos en la figura, para que haya equilibrio se tiene que cumplir que

p1S+mg=p2S

Teniendo en cuenta que m=ρ·hS despejamos el valor de x.

El principio de Arquímedes en un fluido en rotación

En un fluido de densidad ρf en equilibrio, la presión crece linealmente con la profundidad h, p=p0+ρfgh. p0 es la presión en la superficie del fluido

• Un cuerpo sumergido experimenta una fuerza de empuje hacia arriba, E=ρfgV
• La fuerza total sobre el cuerpo sumergido es el empuje E menos el peso mg

Entre tanto, podemos mencionar también que:

• En un fluido en rotación con velocidad angular constante ω, la presión crece proporcionalmente al cuadrado de la distancia al eje de rotación, así como se expresa en la figura de abajo:
• Un cuerpo sumergido experimenta una fuerza de empuje en la dirección radial, hacia el eje de rotación E=ρf(ω2r0)V.
• La fuerza total sobre el cuerpo sumergido es la fuerza centrífuga menos el empuje en la dirección radial

En este apartado, vamos a calcular la fuerza de empuje que experimenta una esfera de radio R sumergida en un fluido de densidad ρf en rotación con velocidad angular constante ω, el centro de la esfera está a una distancia r0=h del eje de rotación paralelo al eje Y

Vamos a seguir los mismos pasos que en el ejemplo de una esfera sumergida en un fluido en equilibrio.

Biografía

(Siracusa, actual Italia, h. 287 a. C. – id., 212 a. C.) Matemático griego. El gran maestro de la matemática y la astronomía del helenismo se debe en gran parte a los avances científicos anteriores y al legado del conocimiento oriental, pero también a las nuevas oportunidades ofrecidas por el mundo helenístico.

En el inicio del período helenístico Euclides, que legó a la posteridad una obra prolífica de síntesis del conocimiento de su tiempo que felizmente fue preservado casi completamente y se convirtió en una referencia casi indispensable para las gradas Edad Contemporánea. Pero el matemático más famoso y prestigioso fue sin duda alguna el grande Arquímedes. Sus escritos, de los cuales una docena fueron preservados, son una prueba elocuente de la naturaleza multifacética de su conocimiento científico.  (Ver Articulo:  animales acuáticos de agua salada)

El Hijo del astrónomo Phidias, que probablemente lo presentó a las matemáticas, aprendió con el padre los elementos de esa disciplina en la que estaba destinado a superar a todas las ex-matemáticas, al punto de aparecer como prodigiosa, “Dios”, incluso para los fundadores ciencia moderna.

Sus estudios fueron refinados en aquel gran centro de cultura helenística que fue a Alejandría de los Ptolomeos, donde Archimedes fue en torno a la aC año 243, un discípulo del astrónomo y matemático Conon de Samos, para el cual él siempre tuvo respeto y admiración.

Allí, después de aprender la cultura de la escuela de matemáticas (recientemente había muerto el gran Euclides), fue entonces cuando se acerco a otros grandes matemáticos, entre los cuales Eratóstenes, que siempre correspondían incluso después de regresar a Sicilia. Para Eratóstenes, Arquímedes dedicó su método, en el cual expuso su brillante aplicación de la mecánica a la geometría, en la cual él “pesaba” áreas y volúmenes desconocidos e imaginarios para determinar su valor. Él regresó a Siracusa, donde se dedicó totalmente al trabajo científico.

Aparentemente, más tarde, regresó a Egipto durante un tiempo como “ingeniero” por Tolomeo y lo diseñó como su primer invento importante, “snäckan”, un tipo de máquina que se utiliza para elevar el agua y las regiones, por lo que no llegó a la inundación del Nilo. Pero su actividad científica madura no tiene precedentes en Siracusa, donde tuvo el beneficio del tirano Hiero II.

Intercambió inventos mecánicos de estudios de mecánica teórica y matemáticas superiores, imprimiéndolos siempre con su espíritu característico, maravillosa mezcla de atrevida intuición y rigurosidad metódica.

Sus invenciones mecánicas son muchas, e incluso las atribuidas a la leyenda (entre estas últimas debemos rechazar los espejos ardientes, los grandes espejos que pondrían fuego a la marina romana que ocupa Siracusa); pero son históricas, como la “serpiente”, muchas máquinas de guerra destinadas a la defensa militar de la ciudad así como un “campo” grande e ingenioso planetario mecánico que, después de tomar Syracuse, era Roma como un cambio de guerra, y aún era El Cicerón y tal vez Ovidio.

En la biografía de Arquímedes destaca más por sus anécdotas, que por eventos como los relatados anteriormente. A su alrededor, la trama de una figura legendaria fue tejido primero por sus conciudadanos y por los romanos, después por los antiguos escritores y finalmente por los árabes; y Plutarco atribuyó una “inteligencia sobrehumana” a ese gran matemático e ingeniero.

Vitruvio cuenta la historia más difundida de estas historias y se refiere al método utilizado para verificar si hay fraude en la creación de una corona de oro en nombre de Hiero II, el tirano de Siracusa y el patrón de Arquímedes, y quizás incluso su pariente. Se dice que el tirano sospecha que el joyero lo había engañado para que pusiera plata en el interior de la corona. Arquímedes pidió que se determinaran los metales que se hicieron sin romperse.

La idea de Arquímedes se refleja en una de las primeras propuestas de su trabajo sobre cuerpos flotantes, pionera en la hidrostática, que sería estudiada cuidadosamente por los fundadores de la ciencia moderna, incluido Galileo. Correspondiente al conocido principio de Arquímedes (todo el cuerpo inmerso en un fluido experimenta un empuje igual al peso de la cantidad de agua que se disuelve), y tal como se explica allí, es posible calcular esa capa de una aleación, lo que lo hizo descubrir Que el joyero había cometido un fraude.

Según otra colección famosa, que incluye el anécdota de Plutarco, Arquímedes estaba tan entusiasmada con el poder de hacer que sus máquinas levantaran pesas con relativamente poco esfuerzo, lo que aseguró al tirano que, si se establecían, movería la tierra; Se supone que, al ser presionado por el rey para llevar a cabo su reclamación, no se logra ningún esfuerzo aparente a través de un complicado sistema de poleas, se pone en movimiento un recipiente de tres tiempos con su carga.

En el trabajo En la esfera y el cilindro, utilizó el llamado método de evacuación, precedente del cálculo integral, para determinar la superficie de una esfera y para determinar la relación entre una esfera y el cilindro rodeado por ella. El último resultado fue su teoría favorita, que por su expreso deseo fue grabada en su tumba, un hecho por el cual Cicerón pudo recuperar la figura de Arquímedes, una vez que ya había sido olvidada.

Historia

Arquímedes creció en un ambiente donde la ciencia era familiar, ya que su padre, Phidias, era un astrónomo. Arquimedes pronto reveló disposición especial para los estudios. Este viajó por la Península Ibérica y estudió en Alejandría. Allí se hizo amigo del famoso Eratóstenes de Cirene, con quien midió la circunferencia de la tierra.

Probablemente como resultado de los estudios realizados con Eratóstenes, y no por la tradición familiar, en Arquímedes desarrollo un profundo amor por el mundo de la astronomía. Volvió a Siracusa, se dedicó a sus estudios en matemáticas, física, geometría, mecánica, óptica y astronomía. En todos estos asuntos, es entonces cuando el realiza investigaciones que todavía son difíciles para una persona de buena preparación desarrollar e interpretar.

Una de las anécdotas más populares sobre Arquímedes, el afamado matemático de origen griego, habla la manera en la cual este inventó un método que serviría para determinar el volumen de un objeto con una forma irregular. De acuerdo con Vitruvius, arquitecto de la Roma antigua, una nueva corona triunfal en forma de corona había sido construida para Hiero II, gobernante tirano de Siracusa, que pidió a Arquímedes para determinar si la corona estaba hecha de oro puro, o si un orfebre deshonesto , añadió plata.

Arquímedes tuvo que resolver el problema sin dañar la corona, por lo que no podía derretirlo y convertirlo en un cuerpo regular para calcular su densidad. Mientras se bañaba, descubrió que la bañera tenía muchos niveles de acuerdo a las masas que intervinieran y luego se dio cuenta de que este efecto podía usarse para determinar el volumen de la corona.

Como la compresión del agua sería realmente insignificante, es entonces que la corona, cuando se sumergía, desplaza una cantidad de agua igual a su propio volumen determino. Al dividir la masa de la corona por el volumen de agua desplazado, la densidad de la corona podría obtenerse. La densidad de la corona sería menor si otros metales más baratos y menos densos se hubieran agregado a ella.

Segun distintos textos historicos que detallan la vida y los descubrimientos que realizo este científico Arquímedes, se dice que este corrió desnudo por las calles, tan emocionado por su descubrimiento que no tuvo tiempo de acordarse de vestirse, gritando a todo pulmón “¡Eureka!” (Griego: “εὕρηκα” que significa “Lo encontré”). (Ver Articulo: Algas marinas comestibles)

Dado que la historia se transmitió oralmente, durante el Renacimiento se cuestionó la vaguedad de medir el volumen y el apilamiento por separado, la división y también por el hecho de que la descripción anterior no utiliza ningún principio de Arquímedes. Galileo 1586, con solo 22 años, publicó el artículo Bilancetta, describiendo una forma de comparar densidades con un balance sumergido y sugirió que tal vez sea la entidad original de Arquímedes.

La historia de la corona de oro no aparece en las obras famosas de Arquímedes, pero en su disertación sobre cuerpos flotantes da un principio hidrostático llamado el principio de Arquímedes. Esto indica que cada cuerpo sumergido en un fluido experimenta una fuerza de tracción vertical y hacia arriba igual al peso del volumen de fluido desalojado; es decir, en vista de dos cuerpos sumergidos en un líquido (por ejemplo, agua), los compuestos más densos o más pesados ​​son más rápidos, es decir, menos tiempo para alcanzar el equilibrio.

Esto ocurre debido al gradiente de presión que se produce en el líquido, que es directamente proporcional a la profundidad de inmersión y al peso del propio líquido, lo que estableció el principio de Arquímedes.

Curiosidades

Entre las curiosidades mas resaltantes de este científico, esta por supuesto en primer lugar el acertijo de la corona del rey, para descifrar si esta era genuina o era de materiales simples y falsa.

Arquímedes descubrió el principio de la palanca y también el impulso, lo que le permitió afirmar, sin destruirlo, que una corona de oro había sido adulterada con cobre. Arquímedes de repente descubrió el comienzo mientras se bañaba, y luego corrió totalmente desnudo a través de Siracusa gritando “Eureka, eureka!” (“¡Tengo, tengo!”) la muy famosa EUREKA.

Sus anécdotas más fascinantes sucedieron al final de su larga vida, cuando Siracusa abandonó su alianza con la República Romana y, como resultado, una flota romana rodeó la ciudad.

En aquella época, sólo Arquímedes representaba una verdadera fuerza de defensa y pasó a crear dispositivos ingeniosos para dañar la flota. Se dice que él vino para construir lentes enormes para causar incendios en buques, grúas mecánicas para levantar y derribar buques, etc. Como se suele decir, se alcanzó a tal punto que los romanos no se atrevían a llegar muy cerca de las paredes y huyeron apenas viendo que una cuerda se deslizaba sobre ellos.

Pero, tras un cerco de tres años, la ciudad fue conquistada en el 212 aC. El comandante romano ordenó que Arquímedes fuera capturado vivo, pero Arquímedes estaba excesivamente concentrado en un problema matemático y, cuando un soldado ordenó que él lo siguiera, se negó a dejar sus números en la arena. El soldado lo mató.

Análisis

Vamos a analizar entonces el principio de Arquímedes, la verdad es que también se le conoce como su famosa “Eureka” y la manera tan peculiar por así decirlo, de descubrir tal hazaña.

El Eureka más famosa de toda la historia

La hidráulica, como una de sus bases más importantes, tiene el llamado Principio de Arquímedes, que explica que un cuerpo no puede ocupar simultáneamente el segundo lugar sin desplazarlo. La declaración formal es: “Un cuerpo total o parcialmente sumergido en un líquido en reposo, experimenta una presión desde abajo hacia arriba igual al peso del volumen que desaparece”.

Arquímedes tomaría un baño y cuando comenzó a entrar, se dio cuenta de que el líquido se estaba moviendo y subió. Justo allí tuvo una epifanía, porque si bajaba la corona, podría saber si estaba hecha de oro sólido, porque tendría una densidad más baja que la falsa y, por lo tanto, arrojaría menos agua.

Después de su descubrimiento, solo logró gritar eureka! Y huir para comunicarlo con el mundo. El detalle es que olvidó vestirse antes y corrió desnudo por las calles de Siracusa. Eureka, hoy es una expresión que se usa cuando tienes un momento en el que podemos encontrar la explicación para algo. En griego, significa “lo encontré” y se convirtió en parte de la tienda mundial de palabras gracias al entusiasmo de Arquímides.

Entonces podemos concluir que este científico tuvo una manera muy simple, sencilla y al mismo tiempo bastante peculiar de determinar el principio que hoy en día lleva su nombre.